线性代数示例

$1 + i$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

一的任意次幂都为一。

$r = \sqrt{1 + 1^{2}}$

解题步骤 2.2

一的任意次幂都为一。

$r = \sqrt{1 + 1}$

解题步骤 2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \sqrt{2}$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{1} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{1}{1} |)$ 。

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解题步骤 4.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

解题步骤 4.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$θ̂ = \arctan (1)$

解题步骤 4.3

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$θ̂ = \frac{π}{4}$

解题步骤 5

因为 $x$ 和 $y$ 都为正数，所以该点位于第一象限。各象限从右上角开始按照逆时针方向进行标记。

象限 $1$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第一象限。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

解题步骤 7

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 8

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 8.1

组合 ${(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ 。

$c i s \frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.2

组合 $c$ 和 $\frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ 。

$i s \frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.3

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ 。

$s \frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 8.4

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ 。

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5

去掉圆括号。

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解题步骤 8.5.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 8.5.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.5.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.5.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.5.7

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.5.8

去掉圆括号。

$\frac{s i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 9

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

解题步骤 9.3

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 9.5

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

解题步骤 9.5.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

解题步骤 10

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

解题步骤 10.3

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

解题步骤 10.4

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

解题步骤 10.5

在公分母上合并分子。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

解题步骤 10.6

化简分子。

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解题步骤 10.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

解题步骤 10.6.2

将 $π$ 和 $8 π$ 相加。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

解题步骤 10.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 10.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.8.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 10.8.2

约去公因数。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 10.8.3

重写表达式。

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 11

将 $k = 2$ 代入公式并化简。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

解题步骤 11.3

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

解题步骤 11.4

组合 $4 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

解题步骤 11.5

在公分母上合并分子。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

解题步骤 11.6

化简分子。

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解题步骤 11.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

解题步骤 11.6.2

将 $π$ 和 $16 π$ 相加。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

解题步骤 11.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 11.8

乘以 $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 11.8.1

将 $\frac{17 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

解题步骤 11.8.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

解题步骤 12

列出解。

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

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